小玩一下數學

沒玩 hacking challenge 之後就很少有機會碰純數啦!前幾天剛好在 Facebook 上看到一道數學題,覺得蠻有趣的,紀錄一下。(不然 blog 當初特別花心思掛了可以打數學式的 MathJax 都沒機會用怪可惜的 XD)

題目

\[2a+2^a=3\\
2b+2\log_2(b-1)=3\]
求 \(a+b\) 之值。

解題思路

題目不單獨問 \(a\) 或 \(b\),猜測是因為分開看的話沒有漂亮的解,但相加之後則會有東西消掉,讓解變得簡潔。所以直覺可以將 \(a\) 跟 \(b\) 做一點轉換,把會消去的部分提出來,在不解出那部分實際值的情況下進行運算。

解題方法一

令 \(c=a+b \Leftrightarrow b=c-a\),則
\[
\begin{array}{l}
2b+2\log_2(b-1)=3\\
\Rightarrow 2(c-a)+2\log_2(c-a-1)=3\\
\Rightarrow \log_2(c-a-1)=\frac{3}{2}-c+a\\
\Rightarrow c-a-1=2^{\frac{3}{2}-c+a}=2^{\frac{3}{2}-c}2^a\\
\Rightarrow 2a+2^{\frac{5}{2}-c}2^a=2(c-1)
\end{array}
\]

將上式與 \(2a+2^a=3\) 之間比較係數,解
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{5}{2}-c=0\\
2(c-1)=3
\end{array}\right.
\]
得 \(c=\frac{5}{2}\)。故 \(a+b=c=\frac{5}{2}\)。

解題方法二

為了讓 \(2a+2^a=3\) 裡面的那個常數 \(3\) 被消去,我們可以讓
\[a=\frac{3}{2}-c\]
如此一來,可以得到
\[
\begin{array}{l}
2a+2^a=3\\
\Rightarrow 2(\frac{3}{2}-c)+2^{\frac{3}{2}-c}=3\\
\Rightarrow c=2^{\frac{1}{2}-c}
\end{array}
\]

對於 \(2b+2\log_2(b-1)=3\),我們可以讓
\[d=b-1 \Leftrightarrow b=d+1\]
在對數括號內的東西就能簡化了。將式子移項取指數調整一下,可以整理出
\[
\begin{array}{l}
2b+2\log_2(b-1)=3\\
\Rightarrow 2(d+1)+2\log_2d=3\\
\Rightarrow d=2^{\frac{1}{2}-d}
\end{array}
\]

以 \(x=2^{\frac{1}{2}-x}\) 等號兩邊的函數作圖,發現只有一個交點,故此方程式有唯一實根。由此,我們可以得知,同為此方程式實根的 \(c\) 與 \(d\) 彼此相等。

最後把 \(c=d\) 這個資訊代回,得到
\[a+b=(\frac{3}{2}-c)+(d+1)=(\frac{3}{2}+1)+(d-c)=\frac{5}{2}\]

解答

\[a+b=\frac{5}{2}\]

後記

挑轉換方式的時候需要一點直覺跟嘗試,以消去存在式子中的各處常數、變數為目標多試幾個吧!

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