沒玩 hacking challenge 之後就很少有機會碰純數啦！前幾天剛好在 Facebook 上看到一道數學題，覺得蠻有趣的，紀錄一下。（不然 blog 當初特別花心思掛了可以打數學式的 MathJax 都沒機會用怪可惜的 XD）
題目#
$$ \begin{array}{l} 2a+2^a=3\\ 2b+2\log_2(b-1)=3 \end{array} $$求 $a+b$ 之值。
解題思路#
題目不單獨問 $a$ 或 $b$，猜測是因為分開看的話沒有漂亮的解，但相加之後則會有東西消掉，讓解變得簡潔。所以直覺可以將 $a$ 跟 $b$ 做一點轉換，把會消去的部分提出來，在不解出那部分實際值的情況下進行運算。
解題方法一#
令 $c=a+b \Leftrightarrow b=c-a$，則
$$ \begin{array}{l} 2b+2\log_2(b-1)=3\\ \Rightarrow 2(c-a)+2\log_2(c-a-1)=3\\ \Rightarrow \log_2(c-a-1)=\frac{3}{2}-c+a\\ \Rightarrow c-a-1=2^{\frac{3}{2}-c+a}=2^{\frac{3}{2}-c}2^a\\ \Rightarrow 2a+2^{\frac{5}{2}-c}2^a=2(c-1) \end{array} $$將上式與 $2a+2^a=3$ 之間比較係數，解
$$ \left\{\begin{array}{l} \frac{5}{2}-c=0\\ 2(c-1)=3 \end{array}\right. $$得 $c=\frac{5}{2}$。故 $a+b=c=\frac{5}{2}$。
解題方法二#
為了讓 $2a+2^a=3$ 裡面的那個常數 $3$ 被消去，我們可以讓
$$ a=\frac{3}{2}-c $$如此一來，可以得到
$$ \begin{array}{l} 2a+2^a=3\\ \Rightarrow 2(\frac{3}{2}-c)+2^{\frac{3}{2}-c}=3\\ \Rightarrow c=2^{\frac{1}{2}-c} \end{array} $$對於 $2b+2\log_2(b-1)=3$，我們可以讓
$$ d=b-1 \Leftrightarrow b=d+1 $$在對數括號內的東西就能簡化了。將式子移項取指數調整一下，可以整理出
$$ \begin{array}{l} 2b+2\log_2(b-1)=3\\ \Rightarrow 2(d+1)+2\log_2d=3\\ \Rightarrow d=2^{\frac{1}{2}-d} \end{array} $$以 $x=2^{\frac{1}{2}-x}$ 等號兩邊的函數作圖，發現只有一個交點，故此方程式有唯一實根。由此，我們可以得知，同為此方程式實根的 $c$ 與 $d$ 彼此相等。
最後把 $c=d$ 這個資訊代回，得到
$$ a+b=(\frac{3}{2}-c)+(d+1)=(\frac{3}{2}+1)+(d-c)=\frac{5}{2} $$解答#
$$ a+b=\frac{5}{2} $$後記#
挑轉換方式的時候需要一點直覺跟嘗試，以消去存在式子中的各處常數、變數為目標多試幾個吧！